Trabalho sobre frações

Introdução

Fração é uma forma de representar uma quantidade usando dois números e uma divisão. Na escrita 3/4, o número de baixo é o denominador e indica que a unidade foi dividida em quatro partes iguais. O número de cima é o numerador e indica que estamos considerando três dessas partes. Lemos essa fração como três quartos.

O detalhe das partes iguais é essencial. Se um bolo for cortado em quatro pedaços muito diferentes, pegar três deles não garante três quartos do bolo. Para essa representação funcionar, cada quarto precisa ter o mesmo tamanho em relação à unidade escolhida.

Frações aparecem em receitas, medidas, dinheiro, divisão de objetos e comparação de quantidades. Elas também podem representar números maiores que um inteiro. Compreender o significado de cada conta torna as regras mais fáceis de lembrar e permite perceber resultados que não fazem sentido.

Primeiro, descobrir qual é o inteiro

Antes de calcular, precisamos saber a que unidade a fração se refere. Metade de uma pizza pequena pode ser menor que um quarto de uma pizza grande. As frações são diferentes, mas os inteiros também são. Comparar apenas 1/2 e 1/4 não resolve uma comparação entre pizzas de tamanhos desconhecidos.

Quando a unidade é a mesma, podemos afirmar que 1/2 é maior que 1/4. Uma barra dividida em duas partes iguais produz metades maiores que os quartos obtidos ao dividi-la em quatro partes iguais. O denominador maior indica mais divisões do mesmo inteiro e, portanto, partes menores.

Uma fração também pode indicar uma parte de um grupo. Se há doze lápis e quatro são azuis, a parcela azul é 4/12 do total. Simplificando, temos 1/3. Não foi necessário cortar lápis: o grupo de doze objetos funciona como o inteiro de referência.

Fração como divisão e como número

A escrita 3/4 também representa a divisão 3 ÷ 4. Por exemplo, três barras iguais divididas igualmente entre quatro pessoas dão 3/4 de barra para cada uma. Cada pessoa recebe três pedaços de um quarto, um de cada barra. Esse exemplo liga a ideia de divisão à ideia de partes iguais.

O denominador não pode ser zero, porque não existe divisão por zero. Já uma fração como 0/5 vale zero: não foi considerada nenhuma das cinco partes. Em 5/5, todas as partes foram consideradas, e o resultado é um inteiro. Essas duas situações ajudam a reconhecer os limites da representação.

Se o numerador for maior que o denominador, a fração positiva passa de um inteiro. A escrita 7/4 representa sete quartos: quatro formam um inteiro e os três restantes formam mais 3/4. Podemos escrever o mesmo valor como 1 e 3/4, um número misto.

Na reta numérica, 7/4 fica entre 1 e 2. Para localizá-lo, dividimos cada intervalo entre inteiros em quatro partes iguais e contamos sete dessas partes a partir do zero. A reta mostra que uma fração é um número com posição definida, e não somente um pedaço de pizza.

Frações equivalentes e simplificação

Frações equivalentes são escritas diferentes para a mesma quantidade. Imagine metade de uma barra. Se cada metade for dividida em dois pedaços, a barra passa a ter quatro partes, e a metade inicial passa a corresponder a dois quartos. Assim, 1/2 = 2/4.

Multiplicar numerador e denominador pelo mesmo número diferente de zero mantém o valor da fração. Em 2/3, multiplicar os dois por quatro produz 8/12. A quantidade não aumentou quatro vezes, porque tanto o número de partes consideradas quanto o número de divisões do inteiro mudou na mesma proporção.

Na simplificação, fazemos o caminho contrário: dividimos os dois números pelo mesmo divisor. Em 18/24, dividir ambos por seis resulta em 3/4. Como três e quatro não têm divisor comum maior que um, essa é uma forma simplificada ao máximo.

Uma conferência útil é voltar à fração anterior. Multiplicando três e quatro por seis, obtemos de novo 18/24. Simplificar não significa tirar uma porção do resultado nem arredondá-lo. Significa preservar exatamente o valor com números menores.

Como comparar frações

Com denominadores iguais, a comparação é direta: 5/8 é maior que 3/8 porque estamos comparando partes do mesmo tamanho e cinco partes são mais que três. Com numeradores iguais e frações positivas, o denominador menor indica partes maiores. Assim, 2/5 é maior que 2/7, considerando o mesmo inteiro.

Quando ambos são diferentes, podemos usar um denominador comum. Para comparar 2/3 e 3/4, transformamos as duas em doze avos: 2/3 = 8/12 e 3/4 = 9/12. Nove doze avos são maiores que oito doze avos; portanto, 3/4 é maior que 2/3.

O doze funciona porque é múltiplo de três e de quatro. Nem sempre precisamos do menor múltiplo comum, mas usá-lo costuma deixar a conta menor. Um denominador comum maior também daria certo, desde que cada transformação conservasse o valor da fração.

Outro caminho é comparar produtos cruzados. Em 2/3 e 3/4, calculamos 2 × 4 = 8 e 3 × 3 = 9. Isso funciona, com denominadores positivos, porque é uma forma curta de comparar 8/12 e 9/12. O significado continua sendo o uso de partes do mesmo tamanho.

Adição e subtração com exemplos

Se os denominadores são iguais, somamos os numeradores e mantemos o denominador: 2/7 + 3/7 = 5/7. Duas partes de um sétimo mais três partes de um sétimo dão cinco partes de um sétimo. Não somamos os denominadores porque o tamanho da parte não mudou.

Com denominadores diferentes, primeiro fazemos a equivalência. Em 1/2 + 1/3, metade vira 3/6, e um terço vira 2/6. A soma fica 3/6 + 2/6 = 5/6. A resposta é menor que um inteiro, mas maior que cada parcela separada, como esperamos nessa situação.

Na subtração, o cuidado é o mesmo. Para resolver 5/6 - 1/4, usamos doze avos: 5/6 = 10/12 e 1/4 = 3/12. Portanto, 10/12 - 3/12 = 7/12. O resultado deve ser menor que 5/6, porque retiramos uma quantidade positiva.

Uma soma pode ultrapassar um inteiro. Em 3/4 + 2/3, temos 9/12 + 8/12 = 17/12. Esse resultado equivale a 1 e 5/12. Frações não são obrigadas a ficar entre zero e um; tudo depende da quantidade representada.

Multiplicar: uma parte de outra quantidade

Multiplicar uma fração por um número inteiro pode significar repetir uma quantidade. Três pedaços de 1/4 de metro totalizam 3 × 1/4 = 3/4 de metro. Se tivermos seis pedaços, serão 6/4 de metro, ou 1 e 1/2 metro.

Multiplicar por uma fração pode significar tomar uma parte. Para encontrar 2/3 de 3/4, fazemos 2/3 × 3/4 = 6/12 = 1/2. Podemos imaginar uma folha dividida em quatro faixas iguais, com três marcadas. Dividindo cada faixa em três partes e escolhendo duas de cada faixa marcada, selecionamos seis das doze partes da folha.

Esse exemplo explica por que multiplicamos os numeradores entre si e os denominadores entre si. Também permite conferir o resultado: tomar 2/3 de uma quantidade positiva deve produzir menos que essa quantidade. Metade é menor que 3/4, então o resultado combina com a pergunta.

A frase de que multiplicar sempre aumenta está errada. Multiplicar por dois aumenta uma quantidade positiva, mas multiplicar por 1/2 a reduz pela metade. O efeito depende do fator, isto é, do número pelo qual estamos multiplicando.

Dividir: quantas porções cabem?

Para resolver 1/2 ÷ 1/4, perguntamos quantas porções de um quarto cabem em uma metade. A metade corresponde a dois quartos, então cabem duas porções. O resultado é 2, não 1/8. Esse significado ajuda a distinguir divisão de multiplicação.

O procedimento geral é multiplicar a primeira fração pelo inverso da segunda. O inverso de 1/4 é 4/1. Assim, 1/2 ÷ 1/4 = 1/2 × 4/1 = 4/2 = 2. A segunda fração não pode valer zero, porque estaríamos dividindo por zero.

Em 3/4 ÷ 2/3, a conta fica 3/4 × 3/2 = 9/8 = 1 e 1/8. Cabe uma porção inteira de 2/3 dentro de 3/4 e ainda sobra uma parte dessa porção. Para conferir, multiplicamos 9/8 por 2/3 e obtemos 18/24 = 3/4, a quantidade inicial.

Não devemos inverter as duas frações nem trocar a ordem sem motivo. A divisão pergunta quantas vezes a segunda quantidade cabe na primeira. Inverter apenas a segunda na multiplicação é um procedimento que preserva essa relação.

Fração de um grupo e ligação com porcentagem

Para encontrar 3/5 de vinte alunos, podemos dividir vinte em cinco grupos iguais e considerar três grupos. Cada grupo tem quatro alunos; três grupos têm doze. Na conta, 3/5 × 20 = 60/5 = 12. A resposta é uma quantidade de alunos, não 12/20 de aluno.

A porcentagem usa o inteiro dividido em cem partes. Assim, 1/2 = 50/100 = 50%, e 3/4 = 75/100 = 75%. O símbolo de porcentagem significa por cento. Essa ligação é útil para compreender descontos, resultados de pesquisas e partes de um total.

Também podemos dividir numerador por denominador e obter uma escrita decimal. Em 3/4, 3 ÷ 4 = 0,75. Já 1/3 produz 0,333... com repetição infinita. Escrever apenas 0,33 é uma aproximação, e não uma igualdade exata com 1/3.

Um problema completo: a fita de dois metros

Uma fita tem dois metros. Foram usados 3/4 de metro para um trabalho e 2/3 de metro para outro. Queremos descobrir o comprimento restante. Primeiro identificamos que todas as quantidades estão em metros e que a pergunta pede uma subtração depois da soma dos pedaços usados.

O comprimento utilizado é 3/4 + 2/3 = 9/12 + 8/12 = 17/12 de metro. A fita original mede 2 metros, equivalentes a 24/12 de metro. Subtraindo, temos 24/12 - 17/12 = 7/12 de metro. Esse é o comprimento que sobra.

Para conferir, somamos os dois pedaços usados e a sobra: 9/12 + 8/12 + 7/12 = 24/12 = 2 metros. A quantidade inicial foi recuperada. Também percebemos que usamos mais de um metro e menos de dois, por isso a sobra deve ser positiva e menor que um metro.

Se o enunciado dissesse que foram usados 3/4 da fita, o raciocínio mudaria: seriam 3/4 de dois metros, ou 1 e 1/2 metro. Uma fração de metro e uma fração da fita inteira são perguntas diferentes. Ler a unidade é tão importante quanto executar a operação.

Conclusão

Frações permitem representar partes, divisões, medidas e relações entre quantidades. Seu entendimento começa com a unidade e com partes iguais. A equivalência conserva valores, os denominadores comuns permitem somar e comparar, e a multiplicação e a divisão respondem a situações próprias.

Uma conta bem resolvida não termina no número. Ela termina quando o número responde à pergunta, mantém a unidade correta e passa por uma conferência. Desenhos, reta numérica, estimativas e operações inversas ajudam a perceber erros e mostram que as regras expressam relações que podemos compreender.